Question

已知函數(shù)
（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：原函數(shù)化為：．
（1）令分母4^x+1≠0，該不等式恒成立，故定義域為R
函數(shù)的解析式可以變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/277744.png' />，由于4^x+1＞1，故0＜＜1
故0＜＜2，
∴f（x）的值域是（-1，1）
（2）函數(shù)是一個奇函數(shù)，證明如下
，故是一個奇函數(shù)．
（3）f（x）在（-∞，+∞）是一個增函數(shù)，證明如下
由于，在（-∞，+∞）上，2^x+1遞增且函數(shù)值大于0，在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
故在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
分析：原函數(shù)化為：：
（1）求f（x）的定義域可令分母4^x+1≠0求解，對函數(shù)的解析式進(jìn)行變化，判斷出值域即可值域；
（2）討論f（x）的奇偶性并證明，本函數(shù)是一個奇函數(shù)，由定義法證明即可；
（3）判斷f（x）在（-∞，+∞）的單調(diào)性并證明，由解析式可以看出本函數(shù)在（-∞，+∞）是一個減函數(shù)，可由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法判斷證明即可．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的、奇偶性的判斷與證明以及函數(shù)的定義域與值域的求法，求解此類題的關(guān)鍵是對函數(shù)性質(zhì)的證明方法了然于胸，熟知其各種判斷證明方法．