Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）猜想數(shù)列{S_n}的通項公式，并給出嚴格的證明．

Answer 1

分析：（1）驗證當n=1時，x²-a₁x-a₁=0有一根為a₁根據(jù)根的定義，可求得a₁，同理，當n=2時，也可求得a₂；
（2）用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，已知結(jié)論成立，第二步，先假設n=k時結(jié)論成立，利用此假設結(jié)合題設條件證明當n=k+1時，結(jié)論也成立即可．

解答：解：（1）當n=1時，x²-a₁x-a₁=0有一根為S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=

1

2

．
當n=2時，x²-a₂x-a₂=0有一根為S₂-1=a₂-

1

2

，
于是（a₂-

1

2

）²-a₂（a₂-

1

2

）-a₂=0，
解得a₂=

1

6

．
（2）由題設（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
由（1）得S₁=a₁=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

．
由①可得S₃=

3

4

．由此猜想S_n=

n

n+1

，n=1，2，3，．
下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論．
（i）n=1時已知結(jié)論成立．
（ii）假設n=k時結(jié)論成立，即S_k=

k

k+1

，當n=k+1時，由①得S_k+1=

1

2-Sk

，即S_k+1=

k+1

k+2

，故n=k+1時結(jié)論也成立．
綜上，由（i）、（ii）可知S_n=

n

n+1

對所有正整數(shù)n都成立．

點評：本題主要考查數(shù)學歸納法，數(shù)學歸納法的基本形式：
設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立