Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)為${F_1}（{-\sqrt{2}，0}），{F_2}（{\sqrt{2}，0}）$，且過點(diǎn)$Q（\sqrt{2}，\;1）$
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求出直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的定義求出a，然后求解b，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2（k≠0）．M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．聯(lián)立方程：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，利用韋達(dá)定理通過$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，所以x₁x₂+y₁y₂=0，求出，k即可推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得2a=AC+BC
=$\sqrt{（\sqrt{2}-（-\sqrt{2}））^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{（\sqrt{2}-\sqrt{2}）^{2}+（1-0）^{2}}$
=4$＞2\sqrt{2}$…（2分）
∴a=2∴b²=a²-c²=4-2=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由題意直線的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2（k≠0）．
設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
聯(lián)立方程：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$…（5分）
消去y整理得，（1+2k²）x²+8kx+4=0
有${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{4}{{1+2{k^2}}}$…（7分）
若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，所以x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0…（9分）
所以，$\frac{{4（{1+{k^2}}）}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{16{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+4=0$
即$\frac{{8-4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$，…（10分）
得k²=2，k=$±\sqrt{2}$，
所以直線l的方程為$y=\sqrt{2}x+2$，或$y=-\sqrt{2}x+2$．
所以過P（0，2）的直線l：$y=±\sqrt{2}x+2$，使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．