已知函數(shù)f(x)=x+
ax
的定義域?yàn)椋?,+∞),a>0且當(dāng)x=1時(shí)取得最小值,設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值;
(2)問:PM•PN是否為定值?若是,則求出該定值,若不是,請說明理由;
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.
分析:(1)由基本不等式得當(dāng)且僅當(dāng)x=
a
x
x=
a
時(shí),f(x)取得最小值,從而由
a
=1求解a.
(2)先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為p(t,t+
1
t
)(t>0)
,則有PM=
1
t
2
=
1
2
t
,PN=t.再求得PM•PN即可得出答案.
(3)由(2)可將S四邊形OMPN轉(zhuǎn)化為S△OPM+S△OPN之和,分別用直角三角形面積公式求解,再構(gòu)造S四邊形OMPN面積模型求最值.
解答:解:(1)∵x>0,a>0
f(x)=x+
a
x
≥2
a
,當(dāng)且僅當(dāng)x=
a
x
x=
a
時(shí),f(x)取得最小值,
a
=1∴a=1
--------------------(5分)
(2)設(shè)p(t,t+
1
t
)(t>0)
,
則:PM=
1
t
2
=
1
2
t
,PN=t,
∴PM•PN=
2
2
(定值)--(10分)
(3)OM=
2t+
1
t
2
SOMPN=S△OPM+S△OPN=
1
2
1
2
t
2t+
1
t
2
+
1
2
t•(t+
1
t
)=1+
1
2
(
1
2t2
+t2)≥
1+
1
2
×2
1
2
=1+
2
2
(當(dāng)t=
4
1
2
時(shí)取等號)
∴四邊形OMPN面積最小值為1+
2
2
.----------------------------------(16分)
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,還考查了平面圖形的轉(zhuǎn)化與面積模型建立與解決.屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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