Question

20．已知函數(shù)$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）-2cosx+1$．
（1）試將函數(shù)f（x）化為f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，并求該函數(shù)的對稱中心；
（2）若銳角△ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且f（A）=0，求$\frac{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用余弦函數(shù)的對稱中心求解即可．
（2）通過函數(shù)的值，求出A的值，然后利用正弦定理化簡函數(shù)的表達式，利用角的范圍，求解$\frac{c}$的取值范圍

解答 解：（1）由條件得$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）-2cos2x+1$=$-\sqrt{3}sin2x-cos2x+1=-2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
由$2x+\frac{π}{6}=kπ（k∈Z）$，解得$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，
于是所求的對稱中心（$-\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，1）k∈Z．
（2）f（A）=0，可得-2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=0，解得A=$\frac{π}{3}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{sin（\frac{2π}{3}-C）}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2tanC}+\frac{1}{2}$，
又△ABC為銳角三角形，故$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，
所以$\frac{1}{2}＜\frac{c}=\frac{{\sqrt{3}}}{2tanC}+\frac{1}{2}＜2$，
于是$\frac{c}$的取值范圍是$（\frac{1}{2}，2）$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力．