Question

已知函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．
（Ⅰ）若c=0時，數(shù)列a_n滿足條件：點（n，a_n）在函數(shù)的圖象上，求a_n的前n項和S_n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N^*（p≠q），證明：；
（Ⅲ）若c=1時，f（x）是奇函數(shù)，f（1）=1，數(shù)列x_n滿足，x_n+1=f（x_n），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）已知函數(shù)，因為點（n，a_n）在函數(shù)f（x）=ax+b的圖象上，可得a_n是首項是a₁=a+b，公差為d=a的等差數(shù)列，從而求出a_n的前n項和S_n；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的條件，求出a_n的通項公式，因為2S_p+q-（S_2p+S_2q），化簡后即可證明；
（Ⅲ）依條件．因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）+f（x）=0，代入求出b值，從而求出f（x）的表達式，然后利用放縮法進行證明；
解答：解：（Ⅰ）依條件有f（x）=ax+b．
因為點（n，a_n）在函數(shù)f（x）=ax+b的圖象上，所以a_n=f（n）=an+b．
因為a_n+1-a_n=a（n+1）+b-（an+b）=a，
所以a_n是首項是a₁=a+b，公差為d=a的等差數(shù)列．（1分）
所以=．
即數(shù)列a_n的前n項和S_n=．（2分）
（Ⅱ）證明：依條件有即解得
所以a_n=2n+1．
所以．（3分）
因為2S_p+q-（S_2p+S_2q）=2[（p+q）²+2（p+q）]-（4p²+4p）-（4q²+4q）=-2（p-q）²，
又p≠q，所以2S_p+q-（S_2p+S_2q）＜0．
即．（5分）
（Ⅲ）依條件．
因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）+f（x）=0．
即．解得b=0．所以．
又f（1）=1，所以a=2．
故．（6分）
因為x_n+1=f（x_n），所以．所以時，有x_n+1＞0（n∈N^*）．
又，
若x_n+1=1，則x_n=1．從而x₁=1．這與矛盾．
所以0＜x_n+1＜1．（8分）
所以．
所以．（10分）
所以=．（12分）
因為，x_n+1＞x_n，所以．所以．
所以．（14分）
點評：此題難度系數(shù)比較大，是數(shù)列與不等式的證明相結(jié)合，是高考中的壓軸題，也是一個熱點問題，方法比較新穎，放縮不等式的時候技巧性比較強；