在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
3
，M、N分別為AB、SB的中點．
（Ⅰ）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐N-BCM的體積．
精英家教網(wǎng)

精英家教網(wǎng)
（Ⅰ）證明：取AC中點O，連結OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥面ABC，
∴SO⊥BO．
如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz．
則A(2，0，0)，B(0，2
3
，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2
2
)，M(1，
3
，0)，N(0，
3
，
2
)．
∴
AC
=(-4，0，0)
SB
=(0，2
3
，-2
2
)，
∵
AC
•
SB
=(-4，0，0)•(0，2
3
，-2
2
)=0，
∴AC⊥SB．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
CM
=(3，
3
，0)，
MN
=(-1，0，
2
)，
設
n
=(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則
CM
•
n
=3x+
3
y=0，
MN
•
n
=-x+
2
z=0，所以可取
n
=(
2
，-
6
，1)．又
OS
=(0，0，2
2
)為平面ABC的一個法向量，
∴cos(
n
•
OS
)=
n
•
OS
|
n
|•|
OS
|
=
1
3
，
∴二面角N-CM-B的余弦值為
1
3
．     （9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知OS=2
2
，∴N到平面ABC的距離為
1
2
OS=
2
，
而△CBM的面積為
1
2
×
3
4
×42=2
3
，
∴三棱錐N-BCM的體積為VN-BCM=
1
3
×2
3
×
2
=
2
6
3
．       （12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB與側面SAC均為邊長為1的等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱錐S-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB與側面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
3
．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點，將三角形ABC分割成三個小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教網(wǎng)C．
②設△ABC三邊長分別為a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
得S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr=
1
2
lr，則r=
2S
l
．
類比上述方法，請給出四面體內(nèi)切球半徑的計算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC，O為BC中點．
（1）求證：SO⊥平面ABC
（2）在線段AB上是否存在一點E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
15
5
？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱錐S-ABC中，側棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，側面△SAB，△SBC，△SAC的面積分別為1，
3
2
，3，則此三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

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