Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是矩形，E是棱PD的中點(diǎn)，PA=AD=4，AB=3．
（1）證明PB∥底面ACE；
（2）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先利用中位線得到線線平行，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線面平行．
（2）首先利用綿綿的垂直轉(zhuǎn)化成線面的垂直，進(jìn)一步得出線面的夾角，最后利用解直角三角形知識(shí)求出結(jié)果．

解答：
證明：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，
則：EO是△PBD的中位線，
所以：PB∥EO
因?yàn)镻B?平面ACE，EO?平面ACE
所以：PB∥平面ACE                                       
（2）作BH⊥AC于H，連結(jié)PH
因?yàn)椋篜A⊥底面ABCD，
所以：平面PAC⊥平面ABCD
由兩平面垂直的性質(zhì)定理得，BH⊥平面PAC
所以：∠BPH就是直線PB與平面PAC所成的角．
因?yàn)?nbsp;PB=5，BH=

12

5

，
所以：sin∠BPH=

BH

PB

=

12

25

，
即直線PB與平面PAC所成的角的正弦值為

12

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定定理，線面的夾角，解直角三角形知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型．