Question

（2013•揭陽一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足

a

sinA

=

c

3 cosC

．
（1）求角C的大��；
（2）求

3

sinA-cosB的最大值，并求取得最大值時角A，B的大�。�

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理變形，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tanC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，代入所求式子中利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出最大值以及此時A與B的度數(shù)．

解答：解：（1）由條件結(jié)合正弦定理得，

a

sinA

=

c

3 cosC

=

c

sinC

，
∴sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）由（1）知B=

2π

3

-A，
∴

3

sinA-cosB=

3

sinA-cos（

2π

3

-A）=

3

sinA-cos

2π

3

cosA-sin

2π

3

sinA=

3

2

sinA+

1

2

cosA=sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
當(dāng)A+

π

6

=

π

2

時，

3

sinA-sin（B+

π

2

）取得最大值1，此時A=

π

3

，B=

π

3

．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．