Question

設數(shù)列{a_n}的首項為a₁=1，前n項和為S_n，且S_n+1=2n²+3n+1，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）設數(shù)列{}的前n項和為T_n，是否存在最大正整數(shù)β，使得對[1，β+1]內(nèi)的任意n∈N^*Z，不等式Τ_n＜恒成立？若存在，求出β的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由S_n+1=2n²+3n+1，得S_n=2（n-1）²+3（n-1）+1 （n≥2）
∴S_n+1-S_n=4n+1，∴a_n+1=4n+1
∴a_n=4n-3 （n≥3）
當n=1時，S₂=6，∵a₁=1，∴a₂=5
∴a_n=4n-3 （n∈N^*）
（II）∵==（-）
∴T_n==（1-）
∵（1-）在[1，β+1]上單調(diào)遞增，（β∈N^*）
∴[（1-）]_max=（1-）
∴（1-）＜，∴
∵β∈N^*，∴β≤14
∴存在最大正整數(shù)β=14，使得對[1，β+1]內(nèi)的任意n∈N^*，不等式Τ_n＜恒成立
分析：（I）先利用遞推公式S_n+1-S_n=a_n+1求得當n≥3時數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，再由已知計算a₁、a₂的值，驗證后得n∈N^*時，數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）先由列項求和的方法求數(shù)列{}的前n項和為T_n，再利用數(shù)列{T_n}的單調(diào)性，得T_n在[1，β+1]上的最大值，解不等式Τ_n＜，可得β的范圍
點評：本題考查了利用數(shù)列前n項和公式S_n求數(shù)列通項公式的方法，裂項求和的方法，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)及其應用