Question

已知函數(shù)h（x）=ln（ax+b）在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解（I）∵h(yuǎn)（x）=ln（ax+b）
∴
∵在點(diǎn)M（1，h（1））處的切線方程為x-2y+ln4-1=0
∴
∵h(yuǎn)（1）=ln2即ln（a+b）=ln2
∴a=b=1（4分）
（II）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），f（x）==
∴=
設(shè)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-2x-x²，則g′（x）=2ln（1+x）-2x
令φ（x）=2ln（1+x）-2x，則
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增
當(dāng)x＞0時(shí)，φ′（x）＜0，，φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴，φ（x）在x=0處取得極大值，而，φ（0）=3，
∴g′（x）＜0（x≠0）
∴g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減
于是當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）（12分）
分析：（I）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，h（1）=ln（a+b）=ln2，代入可求a，b
（II）先求函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），f（x）==，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得=，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-2x-x²，二次求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0，從而可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意本題中利用構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo)方法的應(yīng)用．