Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

，g(x)=

3

8

x2-2x+2+xf(x)．
（Ⅰ）求函數(shù)y=g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，求n的最大值；

Answer 1

分析：（1）令g′（x）＞0，得到g（x）的單調增區(qū)間；令g′（x）＜0，得到g（x）的單調減區(qū)間．
（2）容易求得g（x）在[

2

3

，+∞]的最小值為g（2）大于0，若g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，只能在（0，

2

3

）上存在零點，故只須令eⁿ＜

2

3

且g（eⁿ）≤0，找到n的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題知：g（x）=

3

8

x²-2x+2+lnx的定義域為（0，+∞）
g/(x)=

(3x-2)(x-2)

4x

當g′（x）＞0，即0＜x＜

2

3

或x＞2時，函數(shù)g（x）為增函數(shù)；
當g′（x）＜0，即

2

3

＜x＜2時，函數(shù)g（x）為減函數(shù)．
所以，g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，

2

3

）∪（2，+∞），單調遞減區(qū)間為（

2

3

，2）
（Ⅱ）∵g（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，在（

2

3

，2）上為減函數(shù)，
∴g（x）在x∈[

2

3

，+∞)上的最小值為g（2）
且g（2）=

3

8

×22-4+2+ln2=ln2-

1

2

=

ln4-1

2

＞0
∴g（x）在x∈[

2

3

，+∞)上沒有零點，
∴要想使函數(shù)g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，并考慮到g（x）在（0，

2

3

）單調遞增且在（

2

3

，2）單調遞減，故只須en＜

2

3

且g（eⁿ）≤0即可，
易驗證g(e-1)=

3

8

•e-2-2•e-1+1＞0，g(e-2)=

3

8

•

1

e4

-

2

e2

+2+lne-2=

1

e2

(

3

8

•

1

e2

-2)＜0，
根據(jù)g（x）在（0，

2

3

）為單調遞增函數(shù)，當n≤-2且n∈Z時均有g（eⁿ）≤g（e^-2）＜0，
即函數(shù)g（x）在[eⁿ，e^-1]?[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點
∴n的最大值為-2．

點評：本題較好，是關于函數(shù)的綜合題，主要考查函數(shù)的單調性、最值、零點等函數(shù)的基本知識，應熟練掌握．