Question

已知函數(shù)．
（1）當a=4，解不等式f（x）＞3x；
（2）若函數(shù)g（x）=f（2^x）是奇函數(shù)，求a的值；
（3）若不等式f（x）＜x在[0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=4時，把要解得不等式等價轉(zhuǎn)化為，由此求得不等式f（x）＞3x的解集．
（2）由g（x）是奇函數(shù)，可得g（-x）+g（x）=0恒成，化簡可得，從而求得a的值．
（3）由題意可得上恒成立，設(shè)，利用基本不等式求得，從而得到a的取值范圍．
解答：解：（1）當a=4時，不等式
解得，
∴原不等式的解集為．
（2），∵g（x）是奇函數(shù)，∴g（-x）+g（x）=0恒成立．
∴，
即 ，∴a=1．
（3）f（x）＜x在x∈[0，+∞）上恒成立上恒成立，
設(shè)，則只需a＜h（x）_min．
∵x≥0，∴x+1≥1，∴，
當且僅當，
∴a的取值范圍是．
點評：本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．