Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)＞2的解集；

(2)若對(duì)任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) .(2) [－1，2＋]．

【解析】

（1）對(duì)分情況討論，去絕對(duì)值處理，從而求解出結(jié)果；

（2）對(duì)任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，即求函數(shù)，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得f(x)的最小值為|a|，故原不等式等價(jià)于|a|≥a3－3a－3，分情況討論，進(jìn)行求解。

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.

,當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝1－x＋2－x＝3－2x，

由f(x)＞2可得，

即

解得x＜；

,當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f(x)＝x－1＋2－x＝1，

此時(shí)f(x)＞2無(wú)解；

,當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)＝x－1＋x－2＝2x－3，

此時(shí)由f(x)＞2可得，

即，

解得x＞。

綜上，可得不等式f(x)＞2的解集為。

(2)因?yàn)?/span>f(x)＝|x－a|＋|x－2a|≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，

故f(x)取得最小值|a|，

因此原不等式等價(jià)于|a|≥a3－3a－3。

，當(dāng)a≥0時(shí)，有a≥a2－3a－3，

即a2－4a－3≤0，

解得2－≤a≤2＋，

此時(shí)有0≤a≤2＋；

，當(dāng)a＜0時(shí)，有－a≥a2－3a－3，

即a2－2a－3≤0，

解得－1≤a≤3，

此時(shí)有－1≤a＜0。

綜上，可知a的取值范圍是[－1，2＋]。