(2013•廣東)如圖1,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD=AE,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將△ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐A-BCF,其中BC=
2
2

(1)證明:DE∥平面BCF;
(2)證明:CF⊥平面ABF;
(3)當(dāng)AD=
2
3
時(shí),求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG
分析:(1)在等邊三角形ABC中,由AD=AE,可得
AD
DB
=
AE
EC
,在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立,故有DE∥BC,再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得DE∥平面BCF.
(2)由條件證得AF⊥CF ①,且BF=CF=
1
2
.在三棱錐A-BCF中,由BC=
2
2
,可得BC2=BF2+CF2,從而 CF⊥BF②,結(jié)合①②,證得CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF,結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG.再由 VF-DEG=VE-DFG=
1
3
1
2
•DG•FG•GE
,運(yùn)算求得結(jié)果.
解答:解:(1)在等邊三角形ABC中,AD=AE,∴
AD
DB
=
AE
EC
,在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立,
∴DE∥BC.
又∵DE?平面BCF,BC?平面BCF,
∴DE∥平面BCF.
(2)在等邊三角形ABC中,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),所以AF⊥BC,即AF⊥CF ①,且BF=CF=
1
2

∵在三棱錐A-BCF中,BC=
2
2
,∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF②.
又∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.
(3)由(1)可知GE∥CF,結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG.
VF-DEG=VE-DFG=
1
3
1
2
•DG•FG•GE
=
1
3
1
2
1
3
•(
1
3
3
2
)•
1
3
=
3
324
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定的定理的應(yīng)用,用等體積法求三棱錐的體積,屬于中檔題.
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3
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3

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3

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