Question

（Ⅰ）已知0＜x＜1，求證：

lnx

2

＜-

1-x

1+x

；
（Ⅱ）已知k為正常數(shù)，且a＞0，曲線C：y=e^kx上有兩點P（a，e^ka），Q（-a，e^-ka），分別過點P和Q作曲線C的切線，求證：兩切線的交點的橫坐標大于零．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）構造函數(shù)f（x）=-

1-x

1+x

-

lnx

2

，利用導數(shù)和單調性之間的關系即可證明不等式

lnx

2

＜-

1-x

1+x

；
（Ⅱ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出對應的切線方程，求出交點的橫坐標，結合（Ⅰ）不等式的性質即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）構造函數(shù)f（x）=-

1-x

1+x

-

lnx

2

，
當0＜x＜1，f′（x）=

2

(1+x)2

-

1

2x

=-

(1-x)2

2x(1+x)2

＜0，
即函數(shù)f（x）在（0，1）上單調遞減，
則f（x）＞f（1）=0，即

lnx

2

＜-

1-x

1+x

成立．
（Ⅱ）∵曲線C：y=e^kx，∴y′=ke^kx，
經過點P（a，e^ka），Q（-a，e^-ka）的切線方程分別為y=ke^ka（x-a）+e^ka，和y=ke^-ka（x+a）+e^-ka，
由此解出x=

-(eka-e-ka)+ka(eka+e-ka)

k(eka-e-ka)

=-

1

k

+

a(1+e-2ka)

1-e-2ka

，
設e^-2ka=t，
∵ka＞0，∴0＜t＜1，且有l(wèi)nt=-2ka，
于是-

1

k

=

2a

lnt

，
因此x=

2a

lnt

+

a(1+t)

1-t

=a(

2

lnt

+

1+t

1-t

)，
由（Ⅰ）的不等式

lnx

2

＜-

1-x

1+x

及a＞0，有x＞0，
即兩切線的交點的橫坐標大于零，成立．

點評：本題主要考查不等式的證明，利用條件構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性是解決不等式問題的基本方法，綜合性較強，難度較大．