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在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為.

(1).建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程.

(2).過點A作直線與(1)中的曲線交于M、N兩點，求的最小值的集合.

解析：(1) 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設 |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，所以焦距 2c=|AB|=6.

 因為

又 ，所以 ，由題意得 .

此時，|PA|=|PB|，P點坐標為 P(0，±4).

所以C點的軌跡方程為  

(2) 不妨設A點坐標為A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).當直線MN的傾斜角不為900時，設其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡，得

顯然有 △≥0， 所以

而由橢圓第二定義可得

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，顯然.

當k=0時，取最小值16.

當直線MN的傾斜角為900時，x1=x2=-3,得

但 ，故，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在周長為定值的△ABC中，已知AB=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為
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．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程；
（Ⅱ）（理）過點A作直線與（Ⅰ）中的曲線交于M，N兩點，求|BM|•|BN|的最小值的集合．
（文）當點Q在（Ⅰ）中的曲線上運動時，求|PQ|的最大值的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為
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．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程．
（Ⅱ）過點A作直線與（Ⅰ）中的曲線交于M、N兩點，求|
BM
|•|
BN
|的最小值的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=2
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，動點C的運動軌跡為曲線G，且當動點C運動時，cosC有最小值-
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2
．
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，求曲線G的方程．
（2）過點（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交曲線G于M，N兩點．將線段MN的長|MN|表示為m的函數
 
，并求|MN|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（09年湖北補習學校聯考理）（14分）在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為.

（Ⅰ）建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程.

 （Ⅱ）過點A作直線與(Ⅰ)中的曲線交于M、N兩點，求的最小值的集合.

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年江西師大附中高三年級上學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

在周長為定值的DDEC中,已知,動點C的運動軌跡為曲線G,且當動點C運動時,有最小值．

（1）以DE所在直線為x軸,線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標系,求曲線G的方程;

（2）直線l分別切橢圓G與圓(其中)于A、B兩點,求|AB|的取值范圍．

 

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