過點（1，0）的直線與中心在原點，焦點在x軸上且率心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB中點，同時橢圓C上存在一瞇與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程．
【答案】分析：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式，再利用對稱點所連線段被對稱軸垂直平分來列式求解．
解答：解：由e==，得=，從而a2=2b2，c=b
設橢圓方程為x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓上
則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，（x12-x22）+2（y12-y22）=0，=-
設AB中點為（x，y），則kAB=-，又（x，y）在直線y=x上，y=x，于是-=-1，kAB=-1，則l的方程為y=-x+1．
右焦點（b，0）關于l的對稱點設為（x′，y′），則解得
由點（1，1-b）在橢圓上，得1+2（1-b）2=2b2，b2=，a2=
∴所求橢圓C的方程為，
l的方程為y=-x+1．
點評：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題，成為解決本題的關鍵．注意在設直線方程時要對直線斜率是否存在進行討論．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標平面上的矩形OABC中，|OA|=2，| OC |=
3
，點P，Q滿足
OP
=
λOA
，
AQ
=( 1-λ )
AB
  ( λ∈R )，點D是C關于原點的對稱點，直線DP與CQ相交于點M．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線與點M的軌跡相交于E，F(xiàn)兩點，求△AEF的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線M：y2=4x，圓N：（x-1）2+y2=r2（其中r為常數(shù)，r＞0）．過點（1，0）的直線l交圓N于C、D兩點，交拋物線M于A、B兩點，且滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的必要條件是（　�。�
A、r∈（0，1]
B、r∈（1，2]
C、r∈(
3
2
，4)
D、r∈[
3
2
，+∞)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的兩個焦點F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，且橢圓短軸的兩個端點與F2構(gòu)成正三角形．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使
PE
•
QE
恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f(x)=
(4k-1)ln
1
x
，x∈(0 ， e]
kx2-kx，x∈(e ， +∞)
是增函數(shù)
（1）求常數(shù)k的取值范圍
（2）過點（1，0）的直線與f（x）（x∈（e，+∞））的圖象有交點，求該直線的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•泰安一模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點與拋物線y2=4
3
x的焦點F重合，且橢圓短軸的兩個端點與F構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使
PE
•
QE
恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

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