Question

已知集合A={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y），x、y∈R}，有下列命題：
①若f（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

，則f（x）∈A；
②若f（x）=kx，則f（x）∈A；
③若f（x）∈A，則y=f（x）可為奇函數(shù)；
④若f（x）∈A，則對任意不等實數(shù)x₁，x₂，總有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立．
其中所有正確命題的序號是______．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

①令x≥y≥0，f²（x）-f²（y）=0而f（x+y）f（x-y）=1，∴①錯誤的；
②當f（x）=kx時，f²（x）-f²（y）=k²x²-k²y²=k（x-y）•k（x+y）=f（x+y）•f（x-y）成立，∴②正確．
③令x=y=0可得f（0）=0；再令x=0，有f²（0）-f²（y）=f（y）f（-y）即f（y）（f（y）+f（-y））=0，
則有f（y）=0或f（-y）=-f（y），因此f（x）為奇函數(shù)，∴③正確；
④如函數(shù)f（x）滿足條件：

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立．則函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，
由②知當y=kx時，滿足條件，但當k＞0時，函數(shù)y=kx為增函數(shù)，∴④不滿足條件，故∴④錯誤．
故答案為：②③