Question

4．已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N兩點．
（1）求k的取值范圍；
（2）若S_△MON=6tan∠MON，其中O為坐標原點，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系，列出不等式求解即可．
（2）設(shè)出M，N的坐標，利用直線與圓的方程聯(lián)立，通過韋達定理，結(jié)合已知條件，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，求出直線的斜率，然后判斷直線與圓的位置關(guān)系求解|MN|即可．

解答 解：（1）由題設(shè)，可知直線l的方程為y=kx+1，因為直線l與圓C交于兩點，
所以$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜1．解得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
所以k的取值范圍為：（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．將y=kx+1代入方程：（x-2）²+（y-3）²=1，
整理得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0．所以x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k）²（x₁x₂）+k（x₁+x₂）+1=$\frac{4k（1+k）}{1+{k}^{2}}+8$．
由題設(shè)可得S_△MON=6tan∠MON，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=12．
即$\frac{4k（1+k）}{1+{k}^{2}}+8$=12，解得k=1，所以直線l的方程為y=x+1．
故圓心C在直線l上，所以|MN|=2．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．