Question

已知橢圓經過點A（2，1），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，設直線AM和直線AN的斜率分別為k_AM和k_AN，求證：k_AM+k_AN為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得，由此能求出橢圓C的方程中參數(shù)a，b的值．
（Ⅱ）由題意可設直線l方程為y=k（x-3），由得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．因為直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．由此入手能夠證明k_AM+k_AN為定值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得（2分）
解得，．      （4分）
故橢圓C的方程為．     （5分）
（Ⅱ）由題意可設直線l方程為y=k（x-3），
由得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．（7分）
因為直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，
所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．…（8分）
設M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則，，（10分）
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
所以k_AM+k_AN=（12分）
=
=
=
=．
所以k_AM+k_AN為定值-2．            （14分）
點評：本題考查橢圓方程的求法和證明k_AM+k_AN為定值．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．