Question

六個(gè)人排成一排，計(jì)算下列各種情況下的排列數(shù)（寫出算式并計(jì)算結(jié)果）
（Ⅰ）甲不在排頭，也不在排尾；
（Ⅱ）甲不在排頭，乙不在排尾；
（Ⅲ）甲、乙相鄰；
（Ⅳ）甲、乙、丙三人互不相鄰．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，假設(shè)6個(gè)人分別對應(yīng)6個(gè)空位，甲不排在排頭也不排在排尾，有4個(gè)位置可選；而其他5人對應(yīng)其他5個(gè)位置，對其全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
（II）分兩類，一類是乙排排頭，二類是乙不排排頭，在一、二類情況下分別利用分步法求其排法數(shù)相加．
（III）先將甲、乙捆綁，與其他4人全排列；再排甲、乙，由乘法原理可得答案．
（IV）先排其他3人，再在這3人的左右4個(gè)位置中選3個(gè)排甲、乙、丙，由乘法原理可得答案．

解答：解：（I）假設(shè)6個(gè)人分別對應(yīng)6個(gè)空位，甲不排在排頭也不排在排尾，有4個(gè)位置可選；
則其他4人對應(yīng)其他4個(gè)位置，有

A

5 5

=種情況，
則不同排列方法種數(shù)4×=480種；
（II）根據(jù)加法原理，分兩類，
一類是乙排排頭，有

A

5 5

=120種；
二類是乙不排排頭，先排排頭有4種方法，再排排尾有4種排法，最后排中間四個(gè)位置有

A

4 4

種排法；
由乘法原理共有4×4×

A

4 4

=384種；
所以甲不在排頭，乙不在排尾共有384+120=504種；
（III）先將甲、乙捆綁，與其他4人全排列，再排甲、乙，
共有

A

5 5

•

A

2 2

=240種．
（IV）先排其他3人，再在這3人的左右4個(gè)位置中選3個(gè)排甲、乙、丙，
共有

A

3 3

•

A

3 4

=144種．

點(diǎn)評：本題考查了加法計(jì)數(shù)原理、乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查了排列數(shù)計(jì)數(shù)公式，本題采用了捆綁法，插空法，特除位置優(yōu)先法等常用解答排列組合問題的方法．