Question

如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AE=EB=AF=

2

3

FD=4．沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．
（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長．

Answer 1

分析：本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同事考查空間想象能力和運算求解能力．
（1）取線段EF的中點H，連接A′H，因為A′E=A′F及H是EF的中點，所以A′H⊥EF，又因為平面A′EF⊥平面BEF．則我們可以以A的原點，以AE，AF，及平面ABCD的法向量為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則銳二面角A′-FD-C的余弦值等于平面A′FD的法向量，與平面BEF的一個法向量夾角余弦值的絕對值．
（2）設(shè)FM=x，則M（4+x，0，0），因為翻折后，C與A重合，所以CM=A′M，根據(jù)空間兩點之間距離公式，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程即可得到FM的長．

解答：解：（Ⅰ）取線段EF的中點H，連接A′H，因為A′E=A′F及H是EF的中點，所以A′H⊥EF，
又因為平面A′EF⊥平面BEF．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
則A′（2，2，2

2

），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）．
故

FA′

=（-2，2，2

2

），

FD

=（6，0，0）．
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面A′FD的一個法向量，
-2x+2y+2

2

z=0
所以6x=0．
取z=

2

，則

n

=(0，-2，

2

)．
又平面BEF的一個法向量

m

=(0，0，1)，
故cos?

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

3

3

．
所以二面角的余弦值為

3

3

（Ⅱ）設(shè)FM=x，則M（4+x，0，0），
因為翻折后，C與A重合，所以CM=A′M，
故，(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2

2

)2，得x=

21

4

，
經(jīng)檢驗，此時點N在線段BC上，
所以FM=

21

4

．
方法二：
（Ⅰ）解：取線段EF的中點H，AF的中點G，連接A′G，A′H，GH．
因為A′E=A′F及H是EF的中點，
所以A′H⊥EF
又因為平面A′EF⊥平面BEF，
所以A′H⊥平面BEF，
又AF?平面BEF，
故A′H⊥AF，
又因為G、H是AF、EF的中點，
易知GH∥AB，
所以GH⊥AF，
于是AF⊥面A′GH，
所以∠A′GH為二面角A′-DH-C的平面角，
在Rt△A′GH中，A′H=2

2

，GH=2，A'G=2

3

所以cos∠A′GH=

3

3

．
故二面角A′-DF-C的余弦值為

3

3

．
（Ⅱ）解：設(shè)FM=x，
因為翻折后，C與A′重合，
所以CM=A′M，
而CM²=DC²+DM²=8²+（6-x）²，
A′M²=A′H²+MH²=A′H²+MG²+GH²=(2

2

)2+（2+x）²+2²，
故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2

2

)2
得x=

21

4

，
經(jīng)檢驗，此時點N在線段BC上，
所以FM=

21

4

．

點評：空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；
空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；
空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；