Question

已知f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)，∈［－1，1］． (1) 記｜f(x)｜的最大值為M，求證：M≥ (2) 求出M＝時(shí)f(x)的表達(dá)式

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：證法一　f(x)＝x2＋ax＋b的頂點(diǎn)坐標(biāo)是． 　�、偃�＞1，則M應(yīng)是｜f(－1)｜和｜f(1)｜中最大的一個(gè)．而｜f(－1)｜＋｜f(1)｜≥｜f(－1)＋f(1)｜≥｜f(1)－f(－1)｜＝｜2a｜＞4，∴｜f(－1)｜，｜f(1)｜中必有一個(gè)大于等于． 　�、谌�≤1，則M應(yīng)是｜f(－1)｜，｜f(1)｜，中最大的一個(gè)． 　　(i)當(dāng)b≥－時(shí)，｜f(1)｜＋｜f(－1)｜≥｜f(1)＋f(－1)｜＝｜2＋2b｜≥1， 　　∴在｜f(1)｜，｜f(－1)｜中，必有一個(gè)大于等于 　　(ii)當(dāng)b＜－時(shí)，△＝a2－4b＞0，＝－b≥－b＞，∴必有M＞．綜上所述，M≥總成立． 　　證法二：∵M(jìn)≥｜f(0)｜，M≥｜f(1)｜，M≥｜f(－1)｜，∴4M≥2｜f(0)｜＋｜f(1)｜＋｜f(－1)｜≥｜f(1)＋f(－1)－2f(0)｜＝2，即得M≥． 　　證法三：用反證法．假設(shè)M＜，即－＜x2＋ax＋b＜(－1≤x≤1)，得 　�。�－(x2－)＜x2＋ax＋b－(x2－)＜－(x2－)，即－x2＜ax＋b＋＜1－x2． 　　取x＝1，得a＋b＋＜0，同理，有－a＋b＋＜0，得b＋＜0．又x＝0時(shí)，b＋＞0，矛盾．故M≥． 　　點(diǎn)評(píng)：本題有三種證法，證法一是基本方法，從二次函數(shù)圖象入手，分類討論；證法二通過(guò)函數(shù)值的聯(lián)系并運(yùn)用絕對(duì)值不等式，靈活性較大，技巧性較強(qiáng)；證法三運(yùn)用反證法，并注意用函數(shù)值。

(2)

∵M(jìn)≥｜f(0)｜，M≥｜f(1)｜，M≥｜f(－1)｜，又M＝，∴∴∴b＝－，代入上式得 　�。�≤1＋a＋(－)≤，∴－1≤a≤0． 　　又－≤1－a＋(－)≤，0≤a≤1，∴a＝0，f(x)＝x2－． 　　點(diǎn)評(píng)：本題采用“兩邊夾”的方法．說(shuō)明b＝－，a＝0，從而求出f(x)．