Question

7．已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]（t＞-2）上為單調(diào)函數(shù)；
（2）若t為自然數(shù)，則當t取哪些值時，方程f（x）-z=0（x∈R）在[-2，t]上有三個不相等的實數(shù)根，并求出相應的實數(shù)z的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定t的范圍即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為只需滿足z∈（max{f（-2），f（1）}，min{f（0），f（t）}）即可．

解答 解：（1）因為f'（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x，
由f'（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f'（x）＜0⇒0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
欲使f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
故當t=0或t=1時，方程f（x）-z=0在[-2，t]上不可能有三個不等實根，
所以t≥2，且t∈N．
當t≥2，且t∈N時，方程f（x）-z=0在[-2，t]上有三個不等實根，
只需滿足z∈（max{f（-2），f（1）}，min{f（0），f（t）}）即可．
因為$f（{-2}）=\frac{13}{e^2}，f（0）=3，f（1）=e，f（2）={e^2}$，且f（t）≥f（2）=e²＞3=f（0），
因而f（-2）＜f（1）＜f（0）＜f（2）≤f（t），
所以f（1）＜z＜f（0），即e＜z＜3，
綜上所述，當t≥2，且t∈N時，滿足題意，此時實數(shù)z的取值范圍是（e，3）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及方程根的問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．