Question

一青蛙從點(diǎn)A（x，y）開(kāi)始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng)，其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如圖所示，A（x，y）坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn)），S_n表示青蛙從點(diǎn)A到點(diǎn)A_n所經(jīng)過(guò)的路程．
（1）若點(diǎn)A（x，y）為拋物線y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上一點(diǎn)，點(diǎn)A₁，A₂均在該拋物線上，并且直線A₁A₂經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，證明S₂=3p．
（2）若點(diǎn)A_n（x_n，y_n）要么落在y=x所表示的曲線上，要么落在y=x²所表示的曲線上，并且，試寫(xiě)出（不需證明）；
（3）若點(diǎn)A_n（x_n，y_n）要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且A（0，4），求S_n的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于點(diǎn)A（x，y）為拋物線y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上一點(diǎn)，可知A（-），由于青蛙依次向右向上跳動(dòng)，直線A₁A₂經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，所以A₁（），A₂（），由拋物線定義可證；
（2）根據(jù)題意可得x_2n+1=），由于青蛙從點(diǎn)A（x，y）開(kāi)始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng)，所以可知隨著n的增大，點(diǎn)A_n無(wú)限接近點(diǎn)（1，1），進(jìn)而可得橫向路程之和無(wú)限接近1-，縱向路程之和無(wú)限接近1-，故問(wèn)題得解；
（3）由題意知A₁（1，2²），A₂（1，2⁴），A₃（3，2⁴），A₄（3，2⁶），A₅（6，2⁶），A₆（6，2⁸），…
其中A₁（1，2²），A₃（3，2⁴），A₅（6，2⁶），A₇（10，2⁸），…A₂（1，2⁴），A₄（3，2⁶），A₆（6，2⁸），A₈（10，2¹⁰）…觀察規(guī)律可知：下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為首項(xiàng)為2²，公比為4的等比數(shù)列．相鄰橫坐標(biāo)之差為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)也有此規(guī)律．再分類(lèi)求和即可．
解答：解：（1）設(shè)A（-），由于青蛙依次向右向上跳動(dòng)，
所以A₁（），A₂（），由拋物線定義知：S₂=3p…4分
（2）依題意，x_2n+1=）|+…=（x₁-x）+（y₂-y₁）+（x₃-x₂）+（y₄-y₃）+（x₅-x₄）+…+（x_2n-1-x_2n）+（y_2n-y_2n-1）+…=2（x₁-x）+2（x₃-x₂）+2（x₅-x₄）+…+2（x_2n-1-x_2n）+…
隨著n的增大，點(diǎn)A_n無(wú)限接近點(diǎn)（1，1）…6分
橫向路程之和無(wú)限接近1-，縱向路程之和無(wú)限接近1-…8分
所以 ==1…10分
（3）由題意知A₁（1，2²），A₂（1，2⁴），A₃（3，2⁴），A₄（3，2⁶），A₅（6，2⁶），A₆（6，2⁸），…
其中A₁（1，2²），A₃（3，2⁴），A₅（6，2⁶），A₇（10，2⁸），…A₂（1，2⁴），A₄（3，2⁶），A₆（6，2⁸），A₈（10，2¹⁰）…
觀察規(guī)律可知：下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為首項(xiàng)為2²，公比為4的等比數(shù)列．相鄰橫坐標(biāo)之差為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)也有此規(guī)律．12分
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x_n=
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x_n=
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=（x_n+y_n）-（x+y）=（）-4
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=（x_n+y_n）-（x+y）=（）-4…16分
所以，S_n=…18分．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是圓錐曲線的綜合，主要考查數(shù)列與圓錐曲線的結(jié)合，考查分類(lèi)討論思想，難度較大．關(guān)鍵是搞清運(yùn)動(dòng)過(guò)程中坐標(biāo)之間的關(guān)系，挖掘問(wèn)題的本題，從而使問(wèn)題得解．