Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（1）若對任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=-1時，當且僅當x=$\frac{1}{e^2}$時，f（x）的最小值為-$\frac{1}{e^2}$，證明：對任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx+1＞$\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，將原不等式轉(zhuǎn)化成a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞） 恒成立，構(gòu)造F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，F(xiàn)（x）在x=1處取得極小值，也是最小值，即F（x）_min=F（1）=3，實數(shù)a的取值范圍；
（2）將問題轉(zhuǎn)化成xlnx+x＞$\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，（x∈（0，+∞））恒成立，G（x）=$\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，G（x）在x=1處取得極大值，也是最大值，G（x）_max=G（1）=-$\frac{1}{e}$，
-$\frac{1}{e^2}$＞-$\frac{1}{e}$，所以不等式得證．

解答 解：（1）對任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，也就是a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞） 恒成立．
令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，則F′（x）=$\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=\frac{（x+2）（x-1）}{x^2}$…（3分）
在區(qū)間（0，1），F(xiàn)′（x）＜0，在區(qū)間（1，+∞），F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）在x=1處取得極小值，也是最小值，即F（x）_min=F（1）=3，
∴a≤3…（6分）
（2）證明：問題等價于證明，xlnx+x＞$\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，（x∈（0，+∞））恒成立．
設(shè)G（x）=$\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），則G′（x）=$\frac{1-x}{e^x}$，
∴當0＜x＜1時，G′（x）＞0，
當x＞1時，G′（x）＜0，
故G（x）在x=1處取得極大值，也是最大值，
∴G（x）_max=G（1）=-$\frac{1}{e}$，
∵-$\frac{1}{e^2}$＞-$\frac{1}{e}$，
∴不等式得證…（12分）

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查導數(shù)的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．