Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．
（1）求證：DC⊥平面ABC；
（2）設(shè)CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

Answer 1

分析：（1）先證明AB⊥底面BDC，可得AB⊥CD，又DC⊥BC，從而證明DC⊥平面ABC．
（2）由（1）知 EF⊥平面ABC，求得S△AEB=

3

2

a2，代入體積公式VA-BFE=VF-AEB=

1

3

S△AEB•FE進(jìn)行運(yùn)算可得答案．

解答：解：（1）證明：在圖甲中，∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABC=90° 即AB⊥BD．
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又∠DCB=90°，
∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（2）∵E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，
又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∴VA-BFE=VF-AEB=

1

3

S△AEB•FE，在圖甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得BD=2a，BC=

3

a，EF=

1

2

CD=

1

2

a，∴S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

•2a•

3

a=

3

a2，
∴S△AEB=

3

2

a2，∴VA-BFE=

1

3

•

3

2

a2•

1

2

a=

3

12

a3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，求出△AEB的面積，確定棱錐的高為EF 是解題的關(guān)鍵．