Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2a_n=S_n-n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，當n≥2時，化簡可得a_n-1=2（a_n-1-1），從而判斷出{a_n-1}是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法化簡b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{-{2}^{n}}{（1-{2}^{n}）（1-{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，從而求和．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，2a₁=S₁-1，
解得，a₁=-1；
當n≥2時，2a_n=S_n-n，2a_n-1=S_n-1-（n-1），
兩式作差可得，
2a_n-2a_n-1=a_n-1，
即a_n-1=2（a_n-1-1），
故{a_n-1}是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，
故a_n=1-2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{-{2}^{n}}{（1-{2}^{n}）（1-{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{3}$-1+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$）
=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-1=$\frac{2-{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的判斷及分類討論的思想應用，同時考查了構(gòu)造法與裂項求和法的應用．