Question

5．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在$（{-\frac{π}{12}，\frac{π}{8}}）$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦定義域和值域，求得g（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴$當(dāng)2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z時(shí)，解得$：$kπ+\frac{π}{12}≤x≤\frac{7π}{12}+kπ，k∈Z$，
因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}+kπ]（k∈Z）$．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）的圖象，
再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，
∵$x∈（{-\frac{π}{12}，\frac{π}{8}}）$，∴$4x+\frac{2π}{3}∈（{\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}}）$，
∴$sin（{4x+\frac{2π}{3}}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，∴y=g（x）的值域?yàn)椋?1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦定義域和值域，屬于中檔題．