【題目】已知橢圓：的長軸長為4，離心率為．直線交于點，傾斜角互補，且直線與橢圓的交點分別為（點在點的右側(cè)）.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線的斜率為定值；

（Ⅲ）在橢圓上是否存在一點，恰好使得四邊形為平行四邊形，若存在，分別指出此時點和的坐標；若不存在，簡述理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）存在，

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)長軸長和離心率即可容易求得，則橢圓方程可得；

（Ⅱ）由點在橢圓上，結(jié)合的斜率互為相反數(shù)，結(jié)合韋達定理，即可容易求得兩點的坐標，即可求證斜率為定值；

（Ⅲ）根據(jù)題意，即可容易求得對應點的坐標.

（Ⅰ）根據(jù)題意得解得

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）易知點在橢圓上.

設直線 ，即．

令

消去得．

設，則．

所以．

因為直線和的傾斜角互補，所以直線．

設，同理可得．

所以

．

即直線的斜率為定值．

（Ⅲ）存在符合已知條件，

且使得四邊形為平行四邊形．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)證明：平面；

(2)設點在線段上運動，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求直線和曲線的極坐標方程；

（2）已知射線與曲線交于兩點，射線與直線交于點，若的面積為1，求的值和弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的情況，從生產(chǎn)線上隨機抽取了個零件進行測量，根據(jù)所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到）；

（2）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品. 將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率，從生產(chǎn)線上隨機抽取個零件，試估計所抽取的零件是二等品的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足：.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設實數(shù)列滿足，則下面說法正確的是（ ）

A.若，則前2019項中至少有1010個值相等

B.若，則當確定時，一定存在實數(shù)使恒成立

C.若，一定為等比數(shù)列

D.若，則當確定時，一定存在實數(shù)使恒成立

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）若，是圓上一動點，求點到直線的距離的最小值和最大值；

（2）直線與關于原點對稱，且直線截曲線的弦長等于，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）。

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.

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