Question

12．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立，進而可得滿足條件的a的值；
（2）由（1）可得f（x）=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，故f′（x）=$\frac{2•ln3•{3}^{x}}{{（3}^{x}+1）^{2}}$，由f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{{3}^{x}+1}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
即1-$\frac{a}{{3}^{-x}+1}$=-1+$\frac{a}{{3}^{x}+1}$，
即$\frac{a}{{3}^{x}+1}$+$\frac{a•{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$=$\frac{a（1+{3}^{x}）}{{3}^{x}+1}$=a=2，
證明：（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，
故f′（x）=$\frac{2•ln3•{3}^{x}}{{（3}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）是R上的增函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)解析式的求法，難度中檔．