已知數(shù)列an,點P(an,an+1)(n∈N*)在一次函數(shù)y=2x+m的圖象上,數(shù)列bn滿足條件bn=an+1-an(n∈N*,b1≠0).
(I)求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;
(II)設數(shù)列an,bn的前n項和分別為Sn、Tn且S6=T4,S5=-9,求實數(shù)m的值.
【答案】
分析:(Ⅰ)由題設知a
n+1=2a
n+m,所以a
n+1+m=2(a
n+m),又b
n=a
n+1-a
n=2(a
n+m)-a
n=a
n+m,b
n+1=a
n+1+m=2(a
n+m)=2b
n,且b
1=a
1+m≠0,由此證明數(shù)列b
n是以a
1+m為首項,公比為2的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由S
6=T
4b
n=a
n+m,知a
1+a
2+…+a
5+a
6=a
1+a
2+a
3+a
4+4m,a
5+a
6=4m.由(Ⅰ)知b
n=(a
1+m)×2
n-1,則a
n=(a
1+m)•2
n-1-m,由此可求出實數(shù)m的值.
解答:解:(Ⅰ)∵P(a
n,a
n+1)在一次函數(shù)y=2x+m的圖象上∴a
n+1=2a
n+m
∴a
n+1+m=2(a
n+m)又b
n=a
n+1-a
n=2(a
n+m)-a
n=a
n+m
∴b
n+1=a
n+1+m=2(a
n+m)=2b
n,且b
1=a
1+m≠0
∴數(shù)列b
n是以a
1+m為首項,公比為2的等比數(shù)列(6分)
(Ⅱ)∵S
6=T
4b
n=a
n+m
∴a
1+a
2+…+a
5+a
6=a
1+a
2+a
3+a
4+4m
∴a
5+a
6=4m(7分)
由(Ⅰ)知b
n=(a
1+m)×2
n-1即a
n+m=(a
1+m)•2
n-1則a
n=(a
1+m)•2
n-1-m
∴(a
1+m)×2
4-m+(a
1+m)×2
5-m=4m
∴
(10分)
∵S
5=-9a
n+m是以2為公比的等比數(shù)列∴
解得:m=8(12分)
點評:本題考查數(shù)列的性質和綜合應用,解題時要注意公式的合理運用.