Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；

Answer 1

【答案】分析：（1）h（x）的導數(shù)大于或等于0，得到b≤m（x）型的不等式，故應(yīng)有：b小于或等于m（x）的最小值．
（2）換元，設(shè)t=e^x，把函數(shù)φ（x）化為二次函數(shù)的形式，配方找出對稱軸，分對稱軸在區(qū)間內(nèi)、在區(qū)間左側(cè)、在區(qū)間右側(cè)三種情況求出函數(shù)最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知：h（x）=lnx+x²-bx，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵
∴即對x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＞0，有∴（7分）
（Ⅱ）設(shè)t=e^x，則函數(shù)化為φ（x）=F（t）=t²+bt，t∈[1，2]．∵
∴當即時，F(xiàn)（t）在[1，2]上為增函數(shù)，[φ（x）]_min=F（1）=b+1；
當即-4＜b＜-2時，；
當即b≤-4時，F(xiàn)（t）在[1，2]上為減函數(shù)，[φ（x）]_min=F（2）=2b+4；
∴（14分）
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，恒成立問題，注意分類討論．