Question

15．已知關(guān)于x的不等式|x-$\frac{2}{a}$|+|x-1|≥$\frac{2}{a}$（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，由條件利用絕對(duì)值的意義求得此不等式的解集．
（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式求得$|x-\frac{2}{a}|+|x-1|≥|{1-\frac{2}{a}}|$，再根據(jù)$|{1-\frac{2}{a}}|≥\frac{2}{a}$，求得a的范圍．

解答 解：（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，不等式為|x-2|+|x-1|≥2．
由絕對(duì)值的幾何意義知，不等式的意義可解釋為數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1，2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和大于2．
而$\frac{5}{2}$ 和$\frac{1}{2}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1，2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于于2，
∴$x≥\frac{5}{2}$或$x≤\frac{1}{2}$，∴不等式的解集為$\left\{{x|x≥\frac{5}{2}或x≤\frac{1}{2}}\right\}$．
（2）解：∵$|x-\frac{2}{a}|+|x-1|≥|{1-\frac{2}{a}}|$，
∴原不等式的解集為R，等價(jià)于$|{1-\frac{2}{a}}|≥\frac{2}{a}$，∴a≥4或a＜0．
又a＞0，∴a≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．