Question

1．如圖，以坐標原點O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點A，點B，P在單位圓上，且B（-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$），∠AOB=α．
（1）求$\frac{4cosα-3sinα}{5cosα+3sinα}$的值；
（2）若四邊形OAQP是平行四邊形，
（i）當P在單位圓上運動時，求點O的軌跡方程；
（ii）設∠POA=θ（0≤θ≤2π），點Q（m，n），且f（θ）=m+$\sqrt{3}$n．求關于θ的函數(shù)f（θ）的解析式，并求其單調增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)定義得tanα=-2，再弦化切代入計算，即可求求$\frac{4cosα-3sinα}{5cosα+3sinα}$的值；
（2）（i）設PA中點為H，P（x₁，y₁），Q（x，y），則$x_1^2+y_1^2=1$，$H（\frac{{x_1^{\;}+1}}{2}，\frac{{y_1^{\;}}}{2}）$，由此可求點O的軌跡方程；
（ii）確定$f（θ）=cosθ+\sqrt{3}sinθ+1=2sin（θ+\frac{π}{6}）+1$，即可求其單調增區(qū)間．

解答 解：（1）由三角函數(shù)定義得tanα=-2，所以原式=$\frac{4-3tanα}{5+3tanα}=\frac{10}{-1}=-10$．
（2）∵四邊形OAQP是平行四邊形，∴PA與OQ互相平分，
（i）設PA中點為H，P（x₁，y₁），Q（x，y），則$x_1^2+y_1^2=1$，$H（\frac{{x_1^{\;}+1}}{2}，\frac{{y_1^{\;}}}{2}）$，
又$H（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$，所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=x-1\\{y_1}=y\end{array}\right.$，代入上式得點Q的軌跡方程為（x-1）²+y²=1．
（ii）依題意得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=cosθ\\{y_1}=sinθ\end{array}\right.$，
又由（i）知$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=m-1\\{y_1}=n\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}m=cosθ+1\\ n=sinθ\end{array}\right.$，
∴$f（θ）=cosθ+\sqrt{3}sinθ+1=2sin（θ+\frac{π}{6}）+1$
∵$\left\{\begin{array}{l}2kπ-\frac{π}{2}≤θ+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z\\ 0≤θ≤2π\(zhòng)end{array}\right.$，
∴$0≤θ≤\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}≤θ≤2π$，
∴f（θ）的增區(qū)間為$[0，\frac{π}{3}]$和$[\frac{4π}{3}，2π]$．

點評 本題考查同角三角函數(shù)關系的應用，考查軌跡方程，考查三角函數(shù)知識，屬于中檔題．