Question

已知橢圓Ω的離心率為，它的一個焦點和拋物線y²=-4x的焦點重合．
（1）求橢圓Ω的方程；
（2）若橢圓上過點（x，y）的切線方程為．
①過直線l：x=4上點M引橢圓Ω的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB恒過定點C；
②是否存在實數(shù)λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程，拋物線y²=-4x的焦點是（-1，0），從而得到c=1，再由離心率，能求出橢圓Ω的方程．
（2）①設(shè)切點坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點M的坐標(biāo)（4，t），則可得切線方程，由此推導(dǎo)出直線AB的方程是x+y=1，從而可得結(jié)論；
②將直線AB的方程x+y=1與橢圓方程聯(lián)立，求出|AC|，|BC|，利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），
拋物線y²=-4x的焦點是（-1，0），故c=1，
又∵=，∴a=2，b==，
∴所求的橢圓Ω的方程為．
（2）①證明：設(shè)切點坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點M的坐標(biāo)（4，t），
則切線方程分別為，，
∵兩切線均過M，即，，
即點A，B的坐標(biāo)都適合方程x+y=1
而兩點之間確定的唯一的一條直線，
∴直線AB的方程是x+=1，
對任意實數(shù)t，點（1，0）都適合這個方程，
故直線恒過定點C（1，0）．
②將直線AB的方程x+y=1與橢圓方程聯(lián)立，可得（）y²-2ty-9=0
∴，
不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，則|AC|==
同理|BC|=-
∴==
即|AC|+|BC|=•|AC|•|BC|，
故存在，使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|．
點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．