已知二次函數(shù)f（x）滿足f（-1）=0，且x≤f（x）≤
1
2
（x2+1）對一切實數(shù)x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表達式．
（1）∵二次函數(shù)f（x）滿足f（-1）=0，
且x≤f（x）≤
1
2
（x2+1）對一切實數(shù)x恒成立，
∴取x=1，得1≤f（1）≤
1
2
（1+1），
所以f（1）=1．
（2）設f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
因f（-1）=0，f（1）=1，
∴
a-b+c=0
a+b+c=1
，
∴a+c=b=
1
2
，
∵f（x）≥x對x∈R恒成立，
∴ax2+（b-1）x+c≥0對x∈R恒成立，
∴
a＞0
△=(b-1)2-4ac≤0

∴
a＞0
ac≥
1
16

∵a＞0，ac≥
1
16
＞0，
∴c＞0．
∵
1
2
=a+c≥2
ac
≥2
1
16
當且僅當a=c=
1
4
時，等式成立，
∴f（x）=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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