Question

3．已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2sinx•（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
故當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為1；當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．