Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分別為BC、C₁C的中點(diǎn)，那么異面直線MN與AC所成的角等于

60°

．

Answer 1

分析：連結(jié)A₁B、BC₁、A₁C₁，可得△A₁BC₁是正三角形．利用正方體的性質(zhì)證出四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，可得AC∥A₁C₁，根據(jù)三角開(kāi)中位線定理證出MN∥BC₁，因此BC₁、A₁C₁所成的角就是異面直線MN與AC所成的角，所以∠A₁C₁B=60°即為異面直線MN與AC所成的角的大�。�

解答：解：連結(jié)A₁B、BC₁、A₁C₁，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則
A₁B=BC₁=A₁C₁=

2

，得△A₁BC₁是正三角形，∠A₁C₁B=60°
∵AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，可得AC∥A₁C₁
又∵△BCC₁中，MN是中位線，∴MN∥BC₁
因此，直線BC₁、A₁C₁所成的角就是異面直線MN與AC所成的角
∵∠A₁C₁B=60°，∴異面直線MN與AC所成的角為60°
故答案為：60°

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體中的異面直線，求它們所成角的大小，著重考查了正方體的性質(zhì)、三角形中位線定理和異面直線所成角的求法等知識(shí)，屬于中檔題．