Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足，且a₁，a₂，a₇依次是等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在常數(shù)a＞0且a≠1，使得數(shù)列是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵8S_n=a_n²+4a_n+3，①
∴8a₁=a₁²+4a₁+3．
解之，得a₁=1，或a₁=3．
又8S_n﹣1=a_n﹣1²+4a_n﹣1+3（n≥2），②
由①﹣②，得 8a_n=（a_n²﹣a_n﹣1²）+4（a_n﹣a_n﹣1），
即（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1﹣4）=0．
∵各項(xiàng)均為正數(shù)則a_n+a_n﹣1＞0，
∴a_n﹣a_n﹣1=4（n≥2）．
當(dāng)a₁=1時(shí)，a₂=5，a₇=25．a(chǎn)₁，a₂，a₇成等比數(shù)列，
∴a_n=4n﹣3，b_n=5n﹣1
當(dāng)a₁=3時(shí)，a₂=7，a₇=27，有 不構(gòu)成等比數(shù)列，舍去．
（2）滿足條件的a存在，a=
由（1）知，a_n=4n﹣3，b_n=5^n﹣1
從而a_n﹣log_ab_n=4n﹣3﹣log_a5^n﹣1=（4﹣log_a5）n﹣3+log_a5
由題意得4﹣log_a5=0
∴a=