Question

已知點P是圓F₁：（x+1）²+y²=8上任意一點，點F₂與點F₁關于原點對稱．線段PF₂的中垂線m分別與PF₁、PF₂交于M、N兩點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）斜率為1的直線l與曲線C交于A，B兩點，若

OA

•

OB

=0（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意判斷點M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，進而可求點M的軌跡C的方程；
（2）設直線l的方程為y=x+n，代入橢圓方程，利用△＞0及韋達定理，結合

OA

•

OB

=0，即可求得直線l的方程．

解答：解：（1）由題意得，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），圓F₁的半徑為2

2

，且|MF₂|=|MP|…（1分）
從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=2

2

＞|F1F2|…（3分）
∴點M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，…（5分）
其中長軸2a=2

2

，得到a=

2

，焦距2c=2，則短半軸b=1
橢圓方程為：

x2

2

+y2=1…（6分）
（2）設直線l的方程為y=x+n，由

y=x+n x2 2 +y2=1

可得3x²+4nx+2n²-2=0…（8分）
則△=16n²-24（n²-1）＞0，即n²＜3①…（9分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-4n

3

，x1x2=

2n2-2

3

由

OA

•

OB

=0可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（x₁+n）（x₂+n）=0…（10分）
整理可得2x1x2+n(x1+x2)+n2=0
化簡可得3n²=4，滿足①式，故直線]l的方程為：y=x±

2 3

3

…（12分）

點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是利用橢圓的定義，聯(lián)立直線與橢圓方程，屬于中檔題．