Question

如圖, 是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，，，與平面所成角為.
(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論

Answer 1

(Ⅰ)證明： 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/19/e/1kola4.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以.          ……………………2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/1/5rrie3.gif" style="vertical-align:middle;" />是正方形，
所以，
從而平面.     ……………………4分
(Ⅱ)解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/34/2/cfndl2.gif" style="vertical-align:middle;" />兩兩垂直，
所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/81/2/1umqm3.gif" style="vertical-align:middle;" />與平面所成角為，即，            ………………5分
所以.
由可知，.                           ………………6分
則，，，，，
所以，，                      ………………7分
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則.                                  …………………8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a0/f/1ebcj3.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以為平面的法向量，，
所以.                  …………………9分
因?yàn)槎�面角為銳角，所以二面角的余弦值為.       ………………10分
(Ⅲ)解：點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè).
則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/53/6/hombh2.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以，                                           …………………11分
即，解得.                               …………………12分
此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，符合題意.           …………………13分

解析