Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+b）的圖象在x=0處的切線方程為y=3，其中有e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)-2＜x＜t時(shí)，證明f（t）＞

13

e2

；
（3）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=g（x）若存在區(qū)間[m，n]⊆D時(shí)，使得x∈[m，n]時(shí)，y=g（x）的值域是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)y=g（x）的“保值區(qū)間”．設(shè)h（x）=f（x）+（x-2）e^x，x∈（1，+∞），問(wèn)函數(shù)y=h（x）是否存在“保值區(qū)間”？若存在，求出一個(gè)“保值區(qū)間”，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）=e^x（x²+ax+b），f′（x）=e^x（x²+（a+2）x+b+a）；由題意得

f′(0)=0 f(0)=3

，從而解a，b的值；
（2）求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)，從而求f（x）在（-2，+∞）的取值范圍；
（3））h（x）=f（x）+（x-2）e^x=e^x（x²-2x+1），x∈（1，+∞），h′（x）=e^x（x²-1）＞0，從而得方程x+

1

x

-

1

ex

-2=0在（1，+∞）存在兩個(gè)根，構(gòu)建d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）存在兩個(gè)零點(diǎn)．從而判斷．

解答： 解：（1）f（x）=e^x（x²+ax+b），f′（x）=e^x（x²+（a+2）x+b+a）；

f′(0)=0 f(0)=3

，
解得，a=-3，b=3；
（2）證明：f′（x）=e^x（x²-x）＞0；
則x∈（-∞，0）∪（1，+∞），
故f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函數(shù)，
在（0，1）上是減函數(shù)，
又∵f（-2）=

13

e2

＜f（1）=e；
∴t＞-2時(shí)，f（t）＞

13

e2

，
（3）由題意，h（x）=f（x）+（x-2）e^x=e^x（x²-2x+1），x∈（1，+∞），
h′（x）=e^x（x²-1）＞0，
則h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
設(shè)存在[m，n]，
則

em(m-1)2=m en(n-1)2=n

即方程x+

1

x

-

1

ex

-2=0在（1，+∞）存在兩個(gè)根，
構(gòu)建d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）存在兩個(gè)零點(diǎn)．
又d′（x）=

x2-1

x2

+

1

ex

＞0，
∴d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵d（1）＜0，d（3）＞0；
∴存在（1，3）之內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
因此不存在如題所述的“保值區(qū)間”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及對(duì)新定義的接受能力，屬于難題．