Question

已知集合A={(x，y)|x(x-1)+y(y-1)≤r2-

1

2

}，集合B={（x，y）|x²+y²≤r²}．若A∩B是單元素集合，則正實(shí)數(shù)r=

2

4

．

Answer 1

分析：集合A中的元素其實(shí)是（

1

2

，

1

2

）為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓上的任一點(diǎn)坐標(biāo)，而集合B的元素是以（0，0）為圓心，r為半徑的圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)閞＞0，若A∩B中有且僅有一個元素等價與這兩圓只有一個公共點(diǎn)即兩圓相外切，則圓心距等于兩個半徑相加得到r的值即可．

解答：解：x(x-1)+y(y-1)=r2-

1

2

即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=r2，
據(jù)題知集合A中的元素是（

1

2

，

1

2

）為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓上的任一點(diǎn)坐標(biāo)，
集合B的元素是以（0，0）為圓心，r為半徑的圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，
因?yàn)閞＞0，若A∩B中有且僅有一個元素，則集合A和集合B只有一個公共元素即兩圓有且只有一個交點(diǎn)，則兩圓相外切，
圓心距d=R+r；
根據(jù)勾股定理求出兩個圓心的距離為

2

2

，則

2

2

=2r．∴r=

2

4

．
故答案為：

2

4

．

點(diǎn)評：考查學(xué)生運(yùn)用兩圓位置關(guān)系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含關(guān)系的判斷即應(yīng)用能力．