設{an}和{bn}均為無窮數(shù)列.
(1)若{an}和{bn}均為等比數(shù)列,試研究:{an+bn}和{anbn}是否是等比數(shù)列?請證明你的結論;若是等比數(shù)列,請寫出其前n項和公式.
(2)請類比(1),針對等差數(shù)列提出相應的真命題(不必證明),并寫出相應的等差數(shù)列的前n項和公式(用首項與公差表示).
【答案】分析:(1)討論兩數(shù)列的公比,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可判定{an+bn}和{anbn}是否是等比數(shù)列,然后利用等比數(shù)列的求和公式解之即可;
(2)利用等比中的乘類比到等差中的和,討論公差是否為0,從而求出相應的等差數(shù)列的前n項和公式.
解答:解:(1)①設cn=an+bn,
-(+)(+
=a1b1(q1-q2)2
當q1=q2時,對任意的n∈N,n≥2,=cn+1cn-1恒成立,
故{an+bn}為等比數(shù)列;        (3分)
∴Sn=(1分)
當q1≠q2時,
對任意的n∈N,n≥2,≠cn+1cn-1,{an+bn}不是等比數(shù)列.(2分)
②設dn=anbn,
對于任意n∈N*,{anbn}是等比數(shù)列. (3分)
Sn=  (1分)
(2)設{an},{bn}均為等差數(shù)列,公差分別為d1,d2,則:
①{an+bn}為等差數(shù)列;Sn=(a1+b1)n+(d1+d2)(2分)
②當d1與d2至少有一個為0時,{anbn}是等差數(shù)列,(1分)
若d1=0,Sn=a1b1n+a1d2;(1分)
若d2=0,Sn=a1b1n+b1d1.(1分)
③當d1與d2都不為0時,{anbn}一定不是等差數(shù)列.(1分)
點評:本題主要考查了類比推理,以及等比數(shù)列與等差數(shù)列的判定,同時考查了計算能力和分析求解的能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•閘北區(qū)一模)設{an}和{bn}均為無窮數(shù)列.
(1)若{an}和{bn}均為等比數(shù)列,試研究:{an+bn}和{anbn}是否是等比數(shù)列?請證明你的結論;若是等比數(shù)列,請寫出其前n項和公式.
(2)請類比(1),針對等差數(shù)列提出相應的真命題(不必證明),并寫出相應的等差數(shù)列的前n項和公式(用首項與公差表示).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(任選一題)
(1)已知α、β為實數(shù),給出下列三個論斷:
①|(zhì)α-β|≤|α+β|②|α+β|>5  ③|α|>2
2
,|β|>2
2

以其中的兩個論斷為條件,另一個論斷為結論,寫出你認為正確的命題是
①③⇒②
①③⇒②

(2)設{an}和{bn}都是公差不為零的等差數(shù)列,且
lim
n→∞
an
bn
=2
,則
lim
n→∞
b1+b2+…+bn
na2n
的值為
1
8
1
8

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設{an}和{bn}都是公差不為零的等差數(shù)列,且
lim
n→∞
an
bn
=2
,則
lim
n→∞
b1+b2+…+bn
na2n
的值為
1
8
1
8

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科目:高中數(shù)學 來源:2004年廣東省深圳市松崗中學高考數(shù)學模擬試卷(2)(解析版) 題型:解答題

(任選一題)
(1)已知α、β為實數(shù),給出下列三個論斷:
①|(zhì)α-β|≤|α+β|②|α+β|>5  ③|α|>2,|β|>2
以其中的兩個論斷為條件,另一個論斷為結論,寫出你認為正確的命題是   
(2)設{an}和{bn}都是公差不為零的等差數(shù)列,且,則的值為   

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