Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=3，點（S_n，S_n+1）在直線y=

n+1

n

x+n+1（n∈N*）上．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

Sn

n

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足bn=an•2an，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）設Cn=

Tn

22n+3

，求證：C1+C2+…+Cn＞

20

27

．

Answer 1

（Ⅰ）∵點（S_n，S_n+1）在直線y=

n+1

n

x+n+1（n∈N*）上，
Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，
同除以n+1，則有：

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1
∴數(shù)列{

Sn

n

}是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S_n=n²+2n（n∈N*），∴當n=1時，a₁=3，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，經(jīng)檢驗，當n=1時也成立，
∴a_n=2n+1（n∈N*）．
∵bn=an2an，∴b_n=（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，
T_n=3•2³+5•2⁵++（2n-1）•2^2n-1+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹4T_n
=3•2⁵++（2n-3）2^2n-1+（2n-1）2²ⁿ⁺¹+（2n+1）2²ⁿ⁺³
解得：T_n=(

2

3

n+

1

9

)•22n+3-

8

9

．
（Ⅲ）∵Cn=

Tn

22n+3

=

2n

3

+

1

9

-

1

9

•(

1

4

)n
∴C1+C2+…+Cn=

2

3

•

n(n+1)

2

+

1

9

•n-

1

9

•

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3n2+4n

9

-

1

27

+

1

27

(

1

4

)n＞

3n2+4n

9

-

1

27

≥

7

9

-

1

27

=

20

27

．