Question

某校舉行環(huán)保知識(shí)大獎(jiǎng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽：答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰．已知選手甲答對(duì)每個(gè)問(wèn)題的概率相同，并且相互之間沒(méi)有影響，答題連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為

1

9

．
（1）求選手甲可進(jìn)入決賽的概率；
（2）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為ξ，試求ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)選手甲任答一題，正確的概率為p，根據(jù)甲答對(duì)每個(gè)問(wèn)題的概率相同，并且相互之間沒(méi)有影響，答題連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為

1

9

，列出關(guān)于P的方程，得到甲答對(duì)題目的概率，選手甲能夠進(jìn)入決賽包括兩種情況，這兩種情況是互斥的，由互斥事件的概率公式計(jì)算得到答案．
（2）由題意知ξ可取3，4，5，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫出變量的概率，最后一個(gè)變量的概率可以用1減去其余變量的概率得到，寫出分布列做出期望．

解答：解：（1）設(shè)選手甲任答一題，正確的概率為p，
依題意(1-p)2=

1

9

，p=

2

3

，
甲選答3道題目后進(jìn)入決賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

，
甲選答4道、5道題目后進(jìn)入決賽的概率分別為

C

2 3

(

2

3

)3•

1

3

=

8

27

，

C

2 4

(

2

3

)3(

1

3

)2=

16

81

，
∴選手甲可進(jìn)入決賽的概率P=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．
（2）由題意知ξ可取3，4，5，
依題意P(ξ=3)=

8

27

+

1

27

=

1

3

，
P(ξ=4)=

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

，P(ξ=5)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

2 4

(

1

3

)2•(

2

3

)2•

1

3

=

8

27

∴ξ的分布列為：

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，本題是一個(gè)綜合題目，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，在應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式時(shí)，注意數(shù)字運(yùn)算不要出錯(cuò)．