Question

已知命題p：“?x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0”與命題q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

分析：解命題P是恒成立問題，利用變量分流，構造新函數(shù)，用最值法求解，命題q即為方程有解．

解答：解：∵?x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0
∴a≤

1

2

x2-lnx，x∈[1，2]
令：f（x）=

1

2

x2-lnx，x∈[1，2]
則f′（x）=x-

1

x

∵f′（x）＞0
∴f（x）在[1，2]上增函數(shù)
∴f（x）的最小值為

1

2

∴a≤

1

2

又命題q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”是真命題
∴△=4a²+32+24a≥0
∴a≥-2或a≤-4
又∵命題p：“?x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0”與命題q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命題
∴實數(shù)a的取值范圍 是（-∞，-4]∪[-2，

1

2

]

點評：本題通過常用邏輯用語來考查不等式怛成立問題和方程解的問題，難度空間很大，應熟練掌握．