Question

已知函數(shù)f（x）=
（1）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減求得f（x）_max=f（x₂）
（2）由g（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
則由斜率公式得由k≤1知：建立a＜1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）恒成立，從而求解．
解答：解：（1）當(dāng)-2≤a＜時(shí)，由f'（x）=0得x₁=．（2分）
顯然-1≤x₁＜，＜x₂≤2，∴．
又f'（x）=-
當(dāng)≤x≤x₂時(shí)，f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x₂＜x≤2時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，（5分）
∴f（x）_max=f（x₂）=
=-．（6分）
（2）存在符合條件
因?yàn)間（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³
不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
則（10分）
由k≤1知：a≤1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）
又故
故存在符合條件．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)，一是用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，二是建立模型考查不等式恒成立，要注意討論．